Вьетто прошёл футбольные школы «Индепендьенте де Балнеария» и «Эстудиантеса», пока в 2010 году тренер «Расинга», Клаудио Вивас пригласил его в молодёжную команду клуба. Дебют Лусиано состоялся уже при новом тренере Диего Симеоне. 27 октября 2011 года в матче против «Лануса», Вьетто провел свою первую игру в аргентинской Примере. Со следующего сезона Лусиано стал основным нападающим команды. 4 сентября 2012 года в поединке против «Сан-Мартин», нападающий сделал хет-трик, забив свои первые голы за «Расинг».

Летом 2014 года Вьетто перешёл в испанский «Вильярреал». Сумма трансфера составила 5,5 млн евро. 24 августа в матче против «Леванте» он дебютировал в Ла Лиге, заменив во втором тайме Джовани дос Сантоса. 21 сентября в поединке против «Райо Вальекано» Лусиано сделал «дубль», забив свои первые голы за «жёлтую субмарину». В обоих случаях ассистентом выступил Денис Черышев.

Летом 2015 года Вьетто перешёл в «Атлетико Мадрид», заменив ушедшего в «Ювентус» Марио Манджукича. Сумма трансфера составила 20 млн. евро, а Лусиано воссоединился с Диего Симеоне, который тренировал его в «Расинге». 12 сентября в матче против «Барселоны» он дебютировал за «матраскников», заменив во втором тайме Габи 4 октября в поединке против мадридского «Реала» Вьетто забил свой первый гол за «Атлетико.

Международная карьера
В декабре 2012 года Вьетто попал в заявку молодёжной сборной Аргентины на домашний молодёжный Кубок Америки. На турнире он сыграл в матчах против команд Чили, Парагвая, Боливии и Колумбии. В поединках против боливийцев и парагвайцев Лусиано забил два гола.